墨子作为一个巧妙的工匠,他在实践中总结出了许多划线、选点、为方、画圆、取高的方法,并把这些方法逐步抽象成一般规律,归纳出中国最早的较成体系的几何学知识。墨子之所以要进行这样的抽象总结,为的是使“百工从事,皆有法所度”。②如制方要用矩尺,因为它合乎方的规律;制圆要用圆规,因为它合乎圆的定义;取直要绷紧墨线弹,因为两点之间直线最短;取垂直要以悬挂的垂线为标准,因为悬锤拉紧之线无处不垂直;取直要用水平仪,因为水为流体,易于自然平衡。依据这些操作规则,巧匠所制工件才能合乎标准;刚入门的工匠,也可以使工作尽快步入正轨。
在〈墨经〉中,有19条涉及到数学方面的知识,主要集中在〈经上〉篇中,其内容大部分是几何学的定义和有关定义的推论。虽然《墨经》还没有出现定理,也没有采用符号表示和图解说明,但墨家所作的几何学定义简略精当,已展现出纯科学的萌芽,接近了数量科学的大门。就其整体水平看,大约相当于公元前七世纪末六世纪初古希腊泰勒士早期的水平。这些定义是关于几何学中的一些基本概念,主要有点(端)、线(尺)、面(区)、体(厚)、圆(圜)、正方形(方)、长方形(矩)、平行(平)等。另外,数学中的建位规则,整体与部分、有穷与无穷的关系也有论述。
一、论方、圆、直线、垂直与水平
墨子及其弟子从千百次的工匠实践中,为造方物、圆物,为取直、取垂直、取水平制定出标准和方法,然后再概括出一般方法和规律。
(一)方
墨子说:“百工为方以矩”。《墨经》从工匠用矩尺做方的技巧中总结出“方”的定义:“方,柱、隅四(权)也”。③柱是边,隅是角。方就是四个边和四个角相等。如何做“方”.“矩写攴(交)也。”④即用矩尺做出的四边、四角相等的封闭图形就是“方”。《墨经》以方为例,提出判定两个几何图形相等的方法:“合,与一或复否,说在矩。”⑤即检验两个图形是否相合(相等),那就拿这两个图形跟第三个事物(即共同标准)相比较,看它们是否重叠,若完全重叠则相等;若不完全重叠,则不相等。例如以两图形跟矩尺相叠合,来判明它们是否为相等的方形。
(二)圆
圆的定义:“圜(圆),一中同长也。”⑥“心(圆心),自是(圆心)往相若也。”⑦即圆就是只有一个共同的圆心并且半径都相等的几何图形。如何做圆.“规写交也”。⑧其方法是用圆规的一脚抵住圆心,另一支脚从某一点开始,依次画出园滑的闭合曲线。
《墨经》还从“同异交得”(同一性和差别性相互渗透)的辩证观点出发,发现一个圆的圆心的点,可以转化为另一个圆的圆周的点:“中央,旁也。”⑨。如图一中甲圆的圆心O(中央),同时又是乙圆的圆周(旁)。
(三)直线的性质以及直线与圆的关系
墨子说百工“直以绳”⑩,即工匠取直,要以拉紧的直线为标准。他对于直线性质的认识,已接近古希腊数学家欧几里德(Euclid前330—前275年)几何中的公设:从每一点到另一点可引一条直线。在此基础上,《墨经》提出直线性质的另一条规律:“直,叁也。”B11《广雅.释言》:“参,三也”。“三”即有第三个东西加入到两个东西之间。这一命题又与欧几里德的公设相同:同在一直线上的三点,有一点恰好介于其余两点之间。不仅如此,《墨经》还发现了直线与圆关系的定理,且在该定理中用到了已经阐述过的直线性质的公理:“圆无直”B12。即“一圆周上任何三点都不在一条直线上,”因为“直的定义是“参也”,即三点中有一点恰好介于其余两点之间。其推理如下:定理:一直线与一圆的公共点不能多于两个。推论:无任何圆能通过同在一直线上的三点。
(四)正:垂直
墨子说百工“正以悬”,B13即各种工匠取垂直,要以悬垂的直线为标准。例如筑墙、立桥墩等,为了防止倒塌,需要取垂直。墨子已意识到,下悬重物自由下垂的直线,跟地平面是垂直的,能够作为取垂直的标准。这一与地面垂直的线(铅垂线)就叫作正。
《墨经》说:“正而不可倚,说在团。”B14“丸无所处而不中悬,团也。”B15《说文》:“团,圆也”。即圆球可以在平面上运转自如,随遇而平衡,其原因在于该物重心的垂直线AB,总是能通过球心O和球面与平面的接触点B
(五)平:水平
墨子说百工“平以水”,B16即各种工匠取平,以小范围的静止水面为标准,这是讲水平仪的作用。何谓平.《墨经》定义为:“平,同高也。”B17即两条线平行或两个面平行,指它们之间的距离(过任意点所引垂线)处处都相等。
二、论点、线、面、体
《墨经》中有一套几何学的专用词汇,如端、尺、区、厚,分别表示几何图形的元素点、线、面、体。 (一)端(点)端(点)是《墨经》几何学中的一个基本概念,所言不下十余次。“端”的定义是:“端,体之无厚而最前者也。”B18对它的补充解释是:“端,是无间也。”B19体是部分,“体,分于兼也”B20。兼是一个整体,这个整体被分成许许多多的部分。在这些部分中,没有厚度,也没有长度和宽度,而又处于物体最前部的东西,就叫做“端”。《墨经》的“端”相当于欧几里德几何学中的“点”。欧氏把点定义为“不可分”。《墨经》也认为:“非半弗斫则不动,说在端。”B21“斫半,进前取也。前则中无为半,犹端也。前后取则端中也。斫必半,无与非半,不可斫也。”B22即一个有穷长的物体,如一根棍子,不管是从一头往前取半,还是从两头往中间取半,总有一个时候不能再取半,这时就出现了“端”,即不可分的点。
当然,科学证明,原子也是可分的,至今人们仍未达到物质分裂的最后界限。但从几何学上看,需要假定这种不可分的点(端)的存在。如作直线,考虑从一个点出发引申,或从两点相连等,都不需要考虑这些点的再分。而且,也只有把这个点假设为没有长、宽、厚的东西,才能进行线、面、体等几何单位的演算。所以从几何学上看,《墨经》关于“点”的定义是深刻、严密、准确的。
(二)论点、线、面、体的关系及其定理
1论点和线的关系是部分与整体的关系。
《墨经》说:“体,分于兼也。”B23所举之例有“若尺之端也”。B24“体”是个体或部分,“兼”为个体的集合体;尺即直线,端即点。即线和点的关系是整体与部分的关系,并且表明点可积为线,线可分为点,线大于点,线与点为不可逆的关系。
《墨经》又说:“损,偏去也。”B25“损,偏也者,兼之体也。其体或去或存,谓其存者损。”B26这从另一角度论述了部分与整体的关系:“偏”为不全。对于“兼”来说,“体”是它的“偏”,而“兼”是“体”的集合。若在“兼”中去掉一部分“体”,那么没有去掉的部分,就是“损”。
2论点线相交
《墨经》说:“撄,相得也;”B27“尺与尺,俱不尽。端与端俱尽。尺与端或尽或不尽。”B28撄是接触、交叉或至少有一部分重合;相得即相互占有。
点与点相交,则双方完全重合。因为点被想象为没有长、宽、高,而有确定位置的几何单位,所以两点一旦相交,则双方彼此完全占有对方,没有剩余,即“端与端俱尽”。
线与线相交,不论交点在哪里,则双方都不完全重合。因为线被看作是无数点的集合,线与线相交,只能交于一点。从两条线来说,即“俱不尽”。
点与线相交,不论这点与线上哪个点相交,则从点这方面来说,是完全重合(尽);而从线这方面来说,是不完全重合(不尽),所以叫“或尽或不尽”。
3论两个形体比较
两个形体比较是有条件的:“异类不仳,说在量。”B29即只有同类的形体才可以互相比较,不同类的形体不能比。“仳,两有端而后可。”B30 即必须是两个有一定大小的有限形体才可以比较。如果有一个形体广大无边,即无“端”,则无法进行比较。
比较的方法是:“仳,有以相撄,有不相撄也。”B31即两个同类的有“端”的几何形体对它们进行比较时,应按叠置法进行。如果两个形体处处相交,那就完全相等;如果只有一部分相交,两个形体就只有一部分相等。
4论图形相切
《墨经》说:“次,无间而不相撄也”B32;“无厚而后可”B33。“次”指线与面或面与面相切,相切是指两个图形有一个公共点并且只有一个公共点;“无间”是指两图形之间没有一点空隙;“不相撄”是说不相交。“无厚而后可”是规定这里讨论的不是体积,而是没有厚度(高度)的线或面
5论图形相离
《墨经》说:“有间,中也”B34;“谓夹之者也”B35。“间,不及旁也” B36;“谓夹者也。尺前于区而后于端,不夹于端与区内。及外齐及之及也”。B37“离,间虚也”B38;“虚也者,两木之间,谓其无木者。”B39这三条经意相连贯,主要论图形的相离。两形相离,中间形成间隙、空虚之处。如一座建筑或一架连弩车的两根立柱之间的空隙。这个空隙之处是可以计算的。不过在计算时只计算两形所夹的空隙,不把两形本身包含在内,故曰:“间,不及旁也”,又特地说明“及”不是“齐及”(相等)之意。
另外这里还论及点、线、面之间的关系:“尺前于区”相当于欧几里德几何中的定义:“面的界限是线”(如图八中的a面的界限是AB、BC、CD、DA四条线);而“(尺)后于端”相当于欧几里德几何中的定义:“线的界限是点”(b的界限是A、B两点)。
三、建位规则
《墨经》说:“一少于二而多于五,说在建位”B40“一:五,有一焉;一,有五焉;十,二焉。”B41此即举例说建位问题。
“建位”即建立个、十、百、千、万……的数字之位。同一个数字,可以处在个位,也可处在十位、百位、千位;处在不同位,就代表不同的值。如一处在个位,则它比二少;如果处在十位,那它为十个,比五多,故曰:“一少于二而多于五,说在建位”。“五,有一焉”,是说五之中含一,这个一是处在个位;“一,有五焉”,是说一之中含五,这个一处在十位;“十,二焉”,是说处在十位中的一含有两个处在个位的五。墨家的建位规则,用十分简炼的语言说明了复杂的数学道理。
四、倍数与分数
墨子研究过倍数与分数。
1倍数。
《墨经》说:“倍,为二也”B42;“二尺与尺但去一”。B43即所谓某数加倍就是把数乘以二,如二尺是一尺的加倍;但从二尺中减去一尺还余一尺,这是倍数的举例兼论乘法的还原。
2分数。
墨子对小国小城人民在防御战中节约粮食问题,大量使用分数进行精密计算:“斗食,终岁三十六石。三食,终岁二十四石。四食,终岁十八石。五食,终岁十四石四斗。六食,终岁十二石。斗食,食五升。三食,食三升小半。四食,食二升半。五食,食二升。六食,食一升大半。”B44即每天吃一斗,一年以360天计,吃36石;一日三食,即每日食2/3斗,一年吃24石。2/3斗即6.6升多,每天两顿饭,故曰“三食,食三升小半”。日四食、五食、六食分别为每天食2/4斗、2/5斗、2/6斗。那么上述粮食消耗的比例式(年与餐关系)如下:36∶24∶18∶14.4∶12=5∶3 1/3∶2 1/2∶2∶1 2/3