第一节 数学知识

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墨子作为一个巧妙的工匠他在实践中总结出了许多划线选点为方画圆取高的方法并把这些方法逐步抽象成一般规律归纳出中国最早的较成体系的几何学知识墨子之所以要进行这样的抽象总结为的是使“百工从事皆有法所度”②如制方要用矩尺因为它合乎方的规律制圆要用圆规因为它合乎圆的定义取直要绷紧墨线弹因为两点之间直线最短取垂直要以悬挂的垂线为标准因为悬锤拉紧之线无处不垂直取直要用水平仪因为水为流体易于自然平衡依据这些操作规则巧匠所制工件才能合乎标准刚入门的工匠也可以使工作尽快步入正轨
墨经19条涉及到数学方面的知识主要集中在经上篇中其内容大部分是几何学的定义和有关定义的推论虽然墨经还没有出现定理也没有采用符号表示和图解说明但墨家所作的几何学定义简略精当已展现出纯科学的萌芽接近了数量科学的大门就其整体水平看大约相当于公元前七世纪末六世纪初古希腊泰勒士早期的水平这些定义是关于几何学中的一些基本概念主要有点(端)线(尺)(区)(厚)(圜)正方形(方)长方形(矩)平行(平)另外数学中的建位规则整体与部分有穷与无穷的关系也有论述
论方直线垂直与水平
墨子及其弟子从千百次的工匠实践中为造方物圆物为取直取垂直取水平制定出标准和方法然后再概括出一般方法和规律
(一)方
墨子说“百工为方以矩”墨经从工匠用矩尺做方的技巧中总结出“方”的定义“方隅四(权)也”③柱是边隅是角方就是四个边和四个角相等如何做“方”.“矩写攴(交)”④即用矩尺做出的四边四角相等的封闭图形就是“方”墨经以方为例提出判定两个几何图形相等的方法“合与一或复否说在矩”⑤即检验两个图形是否相合(相等)那就拿这两个图形跟第三个事物(即共同标准)相比较看它们是否重叠若完全重叠则相等若不完全重叠则不相等例如以两图形跟矩尺相叠合来判明它们是否为相等的方形
(二)圆
圆的定义“圜(圆)一中同长也”⑥“心(圆心)自是(圆心)往相若也”⑦即圆就是只有一个共同的圆心并且半径都相等的几何图形如何做圆.“规写交也”⑧其方法是用圆规的一脚抵住圆心另一支脚从某一点开始依次画出园滑的闭合曲线
墨经还从“同异交得”(同一性和差别性相互渗透)的辩证观点出发发现一个圆的圆心的点可以转化为另一个圆的圆周的点“中央旁也”⑨如图一中甲圆的圆心O(中央)同时又是乙圆的圆周(旁)
(三)直线的性质以及直线与圆的关系
墨子说百工“直以绳”⑩即工匠取直要以拉紧的直线为标准他对于直线性质的认识已接近古希腊数学家欧几里德(Euclid330—前275年)几何中的公设从每一点到另一点可引一条直线在此基础上墨经提出直线性质的另一条规律“直叁也”B11广雅.释言“参三也”“三”即有第三个东西加入到两个东西之间这一命题又与欧几里德的公设相同同在一直线上的三点有一点恰好介于其余两点之间不仅如此墨经还发现了直线与圆关系的定理且在该定理中用到了已经阐述过的直线性质的公理“圆无直”B12即“一圆周上任何三点都不在一条直线上”因为“直的定义是“参也”即三点中有一点恰好介于其余两点之间其推理如下定理一直线与一圆的公共点不能多于两个推论无任何圆能通过同在一直线上的三点
(四)垂直
墨子说百工“正以悬”B13即各种工匠取垂直要以悬垂的直线为标准例如筑墙立桥墩等为了防止倒塌需要取垂直墨子已意识到下悬重物自由下垂的直线跟地平面是垂直的能够作为取垂直的标准这一与地面垂直的线(铅垂线)就叫作正
墨经“正而不可倚说在团”B14“丸无所处而不中悬团也”B15说文“团圆也”即圆球可以在平面上运转自如随遇而平衡其原因在于该物重心的垂直线AB总是能通过球心O和球面与平面的接触点B
(五)水平
墨子说百工“平以水”B16即各种工匠取平以小范围的静止水面为标准这是讲水平仪的作用何谓平.墨经定义为“平同高也”B17即两条线平行或两个面平行指它们之间的距离(过任意点所引垂线)处处都相等
论点线体
墨经中有一套几何学的专用词汇如端分别表示几何图形的元素点线 (一)(点)(点)墨经几何学中的一个基本概念所言不下十余次“端”的定义是“端体之无厚而最前者也”B18对它的补充解释是“端是无间也”B19体是部分“体分于兼也”B20兼是一个整体这个整体被分成许许多多的部分在这些部分中没有厚度也没有长度和宽度而又处于物体最前部的东西就叫做“端”墨经的“端”相当于欧几里德几何学中的“点”欧氏把点定义为“不可分”墨经也认为“非半弗斫则不动说在端”B21“斫半进前取也前则中无为半犹端也前后取则端中也斫必半无与非半不可斫也”B22即一个有穷长的物体如一根棍子不管是从一头往前取半还是从两头往中间取半总有一个时候不能再取半这时就出现了“端”即不可分的点
当然科学证明原子也是可分的至今人们仍未达到物质分裂的最后界限但从几何学上看需要假定这种不可分的点(端)的存在如作直线考虑从一个点出发引申或从两点相连等都不需要考虑这些点的再分而且也只有把这个点假设为没有长厚的东西才能进行线体等几何单位的演算所以从几何学上看墨经关于“点”的定义是深刻严密准确的
(二)论点线体的关系及其定理
1论点和线的关系是部分与整体的关系
墨经“体分于兼也”B23所举之例有“若尺之端也”B24“体”是个体或部分“兼”为个体的集合体尺即直线端即点即线和点的关系是整体与部分的关系并且表明点可积为线线可分为点线大于点线与点为不可逆的关系
墨经又说“损偏去也”B25“损偏也者兼之体也其体或去或存谓其存者损”B26这从另一角度论述了部分与整体的关系“偏”为不全对于“兼”来说“体”是它的“偏”而“兼”是“体”的集合若在“兼”中去掉一部分“体”那么没有去掉的部分就是“损”
2论点线相交
墨经“撄相得也”B27“尺与尺俱不尽端与端俱尽尺与端或尽或不尽”B28撄是接触交叉或至少有一部分重合相得即相互占有
点与点相交则双方完全重合因为点被想象为没有长而有确定位置的几何单位所以两点一旦相交则双方彼此完全占有对方没有剩余即“端与端俱尽”
线与线相交不论交点在哪里则双方都不完全重合因为线被看作是无数点的集合线与线相交只能交于一点从两条线来说即“俱不尽”
点与线相交不论这点与线上哪个点相交则从点这方面来说是完全重合(尽)而从线这方面来说是不完全重合(不尽)所以叫“或尽或不尽”
3论两个形体比较
两个形体比较是有条件的“异类不仳说在量”B29即只有同类的形体才可以互相比较不同类的形体不能比“仳两有端而后可”B30 即必须是两个有一定大小的有限形体才可以比较如果有一个形体广大无边即无“端”则无法进行比较
比较的方法是“仳有以相撄有不相撄也”B31即两个同类的有“端”的几何形体对它们进行比较时应按叠置法进行如果两个形体处处相交那就完全相等如果只有一部分相交两个形体就只有一部分相等
4论图形相切
墨经“次无间而不相撄也”B32“无厚而后可”B33“次”指线与面或面与面相切相切是指两个图形有一个公共点并且只有一个公共点“无间”是指两图形之间没有一点空隙“不相撄”是说不相交“无厚而后可”是规定这里讨论的不是体积而是没有厚度(高度)的线或面
5论图形相离
墨经“有间中也”B34“谓夹之者也”B35“间不及旁也” B36“谓夹者也尺前于区而后于端不夹于端与区内及外齐及之及也”B37“离间虚也”B38“虚也者两木之间谓其无木者”B39这三条经意相连贯主要论图形的相离两形相离中间形成间隙空虚之处如一座建筑或一架连弩车的两根立柱之间的空隙这个空隙之处是可以计算的不过在计算时只计算两形所夹的空隙不把两形本身包含在内故曰“间不及旁也”又特地说明“及”不是“齐及”(相等)之意
另外这里还论及点线面之间的关系“尺前于区”相当于欧几里德几何中的定义“面的界限是线”(如图八中的a面的界限是ABBCCDDA四条线)而“(尺)后于端”相当于欧几里德几何中的定义“线的界限是点”(b的界限是AB两点)
建位规则
墨经“一少于二而多于五说在建位”B40“一有一焉有五焉二焉”B41此即举例说建位问题
“建位”即建立个……的数字之位同一个数字可以处在个位也可处在十位百位千位处在不同位就代表不同的值如一处在个位则它比二少如果处在十位那它为十个比五多故曰“一少于二而多于五说在建位”“五有一焉”是说五之中含一这个一是处在个位“一有五焉”是说一之中含五这个一处在十位“十二焉”是说处在十位中的一含有两个处在个位的五墨家的建位规则用十分简炼的语言说明了复杂的数学道理
倍数与分数
墨子研究过倍数与分数
1倍数
墨经“倍为二也”B42“二尺与尺但去一”B43即所谓某数加倍就是把数乘以二如二尺是一尺的加倍但从二尺中减去一尺还余一尺这是倍数的举例兼论乘法的还原
2分数
墨子对小国小城人民在防御战中节约粮食问题大量使用分数进行精密计算“斗食终岁三十六石三食终岁二十四石四食终岁十八石五食终岁十四石四斗六食终岁十二石斗食食五升三食食三升小半四食食二升半五食食二升六食食一升大半”B44即每天吃一斗一年以360天计36一日三食即每日食2/3一年吃242/3斗即6.6升多每天两顿饭故曰“三食食三升小半”日四食五食六食分别为每天食2/42/52/6那么上述粮食消耗的比例式(年与餐关系)如下36∶24∶18∶14.4∶12=5∶3 1/3∶2 1/2∶2∶1 2/3