墨子作为一个工匠，他在实践中总结出了许多划线、选点、为方、画圆、取高的
方法，并把这些方法逐步抽象成一般规律，归纳出中国最早的较成体系的几何学知识。
墨子之所以要进行这样的抽象总结，为的是使“百工从事，皆有法所度”。 (《墨子
·法仪》) 如制方要用矩尺，因为它合乎方的规律；制圆要用圆规，因为它合乎圆的
定义；取直要绷紧墨线弹，因为两点之间直线最短；取垂直要以悬挂的垂线为标准，
因为悬锤拉紧之线无处不垂直；取直要用水平仪，因为水为流体，易于自然平衡。依
据这些操作规则，巧匠所制工件才能合乎标准；刚入门的工匠也可以使工作尽快步入
正轨。
在《墨经》中，有19条涉及到数学方面的知识，主要集中在《经上》篇中，其内
容大部分是几何学的定义和有关定义的推论。虽然《墨经》还没有出现定理，也没有
采用符号表示和图解说明，但墨家所作的几何学定义简略精当，已展现出纯科学的萌
芽，接近了数量科学的大门。就其整体水平看，大约相当于公元前七世纪末六世纪初
古希腊泰勒士早期的水平。这些定义涉及到几何学中的一些基本概念，主要有点(端)
、线(尺)、面(区)、体(厚)、圆(圜)、正方形(方)、长方形(矩)、平行(平)等。另外，
对数学中的建位规则，整体与部分、有穷与无穷的关系也有论述。
一、论方、圆、直线、垂直与水平
墨子及其弟子从千百次的工艺实践中，为造方物、圆物，为取直、取垂直、取水
平制定出标准和方法，然后再概括出一般方法和规律。
(一)方
墨子说：“百工为方以矩”。《墨经》从工匠用矩尺做方的技巧中总结出“方”
的定义：“方，柱、隅四 (权)也”。(《墨子·经上59》)柱是边，隅是角。方就是
四个边和四个角相等。如何做“方”? “矩写攴 (交) 也。”(《墨子·经说上59》)
即用矩尺做出的四边、四角相等的封闭图形就是“方”。
《墨经》以方为例，提出判定两个几何图形相等的方法：“合，与一或复否，说
在矩。”(《墨子·经下12》)即检验两个图形是否相合(相等)，那就拿这两个图形跟
第三个事物(即共同标准)相比较，看它们是否重叠，若完全重叠则相等；若不完全重
叠，则不相等。例如以两图形跟矩尺相叠合，来判明它们是否为相等的方形。
(二)圆
圆的定义：“圜(圆) ，一中同长也。”(《墨子·经上58》) “心(圆心)，自是
(圆心)往相若也。”(《墨子·经说上54》)即圆就是只有一个共同的圆心并且半径都
相等的几何图形。如何做圆? “规写交也”。(《墨子·经说上58》)其方法是用圆规
的一脚抵住圆心，另一支脚从某一点开始，依次画出圆滑的闭合曲线。
《墨经》还从“同异交得”(同一性和差别性相互渗透)的辩证观点出发，发现一个圆
的圆心的点， 可以转化为另一个圆的圆周的点：“中央，旁也。”(《墨子·经说上
89》)如图一中甲圆的圆心O(中央)，同时又是乙圆的圆周(旁)(如图4-1)。
(三)直线的性质以及直线与圆的关系
墨子说百工“直以绳”(《墨子·法仪》)，即工匠取直，要以拉紧的直线为标准。
他对于直线性质的认识，已接近古希腊数学家欧几里德 (Euclid，公元前330-前27 5
年)几何中的公设：从每一点到另一点可引一条直线(如图4-2)。
在此基础上， 《墨经》提出直线性质的另一条规律：“直，参也。” (《墨子
·经上57》) 《广雅·释言》：“参，三也”。“三”即有第三个东西加入到两个东
西之间。这一命题又与欧几里德的公设相同：同在一直线上的三点，有一点恰好介于
其余两点之间(如图4-3)。
不仅如此，《墨经》还发现了直线与圆关系的定理，且在该定理中用到了已经阐
述过的直线性质的公理：“圆无直” (《墨子·经说上100》) 。即“一圆周上任何
三点都不在一条直线上”，因为直的定义是“参也”，即三点中有一点恰好介于其余
两点之间。其推理如下：定理：一直线与一圆的公共点不能多于两个。推论：无任何
圆能通过同在一直线上的三点(如图4-4)。
(四)正：垂直
墨子说百工“正以悬”(《墨子·法仪》)，即各种工匠取垂直，要以悬垂的直线
为标准。例如筑墙、立桥墩等，为了防止倒塌，需要取垂直。墨子已意识到，下悬重
物自由下垂的直线，跟地平面是垂直的，能够作为取垂直的标准。这一与地面垂直的
线(铅垂线)就叫作正(如图4-5)。
《墨经》说：“正而不可倚，说在团。”(《墨子·经下62》)“丸无所处而不中悬，
团也。”(《墨子·经说下62》)《说文》：“团，圆也”。即圆球可以在平面上运转
自如， 随遇而平衡，其原因在于该物重心的垂直线AB，总是能通过球心O和球面与平
面的接触点B(如图4-6)。
(五)平：水平
墨子说百工“平以水”(《墨子·法仪》)，即各种工匠取平，以小范围的静止水
面为标准，这是讲水平仪的作用。何谓平?《墨经》定义为：“平，同高也。”(《墨
子·经上52》) 即两条线平行或两个面平行，指它们之间的距离(过任意点所引垂线)
处处都相等。
二、论点、线、面、体
《墨经》中有一套几何学的专用词汇，如端、尺、区、厚，分别表示几何图形的
元素点、线、面、体。
(一)端(点)
端(点)是《墨经》几何学中的一个基本概念，所言不下十余次。“端”的定义是：
“端，体之无厚而最前者也。”(《墨子·经上61》)对它的补充解释是：“端，是无
间也。”(《墨子·经说上61》) 体是部分，“体，分于兼也”(《墨子·经上2》)。
兼是一个整体，这个整体被分成许许多多的部分。在这些部分中，没有厚度，也没有
长度和宽度，而又处于物体最前部的东西，就叫做“端”。《墨经》的“端”相当于
欧几里德几何学中的“点” 。欧氏把点定义为“不可分” 。《墨经》也认为：“非
半弗斫则不动，说在端。”(《墨子·经下60》)“斫半，进前取也。前则中无为半，
犹端也。前后取则端中也。斫必半，无与非半，不可斫也。”(《墨子·经说下60》)
即一个有穷长的物体，如一根棍子，不管是从一头往前取半，还是从两头往中间取半，
总有一个时候不能再取半，这时就出现了“端”，即不可分的点。
当然，科学证明，原子也是可分的，至今人们仍未达到物质分裂的最后界限。但
从几何学上看，需要假定这种不可分的点(端)的存在。如作直线，考虑从一个点出发
引申，或从两点相连等，都不需要考虑这些点的再分。而且，也只有把这个点假设为
没有长、宽、厚的东西，才能进行线、面、体等几何单位的演算。所以从几何学上看，
《墨经》关于“点”的定义是深刻、严密、准确的。
(二)论点、线、面、体的关系及其定理
1.论点和线的关系是部分与整体的关系
《墨经》说：“体，分于兼也。”(《墨子·经上2》)所举之例有“若尺之端也”。
(《墨子·经说上2》) “体”是个体或部分，“兼”为个体的集合体；尺即直线，端
即点。即线和点的关系是整体与部分的关系，并且表明点可积为线，线可分为点，线
大于点，线与点为不可逆的关系。
《墨经》又说：“损，偏去也。”(《墨子·经上45》)“损，偏也者，兼之体也。
其体或去或存，谓其存者损。”(《墨子·经说上45》)这从另一角度论述了部分与整
体的关系：“偏”为不全。对于“兼”来说，“体”是它的“偏”，而“兼”是“体”
的集合。若在“兼”中去掉一部分“体”，那么没有去掉的部分，就是“损”。
2.论点线相交
《墨经》说：“撄，相得也”(《墨子·经上67》)；“尺与尺，俱不尽。端与端
俱尽。尺与端或尽或不尽。”(《墨子·经说上67》)撄是接触、交叉或至少有一部分
重合；相得即相互占有。
点与点相交，则双方完全重合。因为点被想象为没有长、宽、高，而有确定位置
的几何单位，所以两点一旦相交，则双方彼此完全占有对方，没有剩余，即“端与端
俱尽”。
线与线相交，不论交点在哪里，则双方都不完全重合。因为线被看作是无数点的
集合，线与线相交，只能交于一点。从两条线来说，即“俱不尽”。
点与线相交，不论这点与线上哪个点相交，则从点这方面来说，是完全重合(尽)；
而从线这方面来说，是不完全重合(不尽)，所以叫“或尽或不尽”。
3.论两个形体比较
两个形体比较是有条件的：“异类不仳，说在量。”(《墨子·经下5》) 即只有
同类的形体才可以互相比较，不同类的形体不能比。“仳，两有端而后可。” (《墨
子·经说上68》) 即必须是两个有一定大小的有限形体才可以比较。如果有一个形体
广大无边，即无“端”，则无法进行比较。
比较的方法是：“仳，有以相撄，有不相撄也。”(《墨子·经上68》)即两个同
类的有“端”的几何形体对它们进行比较时，应按叠置法进行。如果两个形体处处相
交，那就完全相等；如果只有一部分相交，两个形体就只有一部分相等。
4.论图形相切
《墨经》说：“次，无间而不相撄也”(《墨子·经上69》) ；“无厚而后可”(《墨
子·经说上69》) 。“次”指线与面或面与面相切，相切是指两个图形有一个公共点
并且只有一个公共点；“无间”是指两图形之间没有一点空隙；“不相撄”是说不相
交。“无厚而后可”是规定这里讨论的不是体积，而是没有厚度(高度) 的线或面(如
图4-7)。
5.论图形相离
《墨经》说：“有间，中也”(《墨子·经上62》) ；“谓夹之者也”(《墨子·经说
上62》)。“间，不及旁也”(《墨子·经上63》)；“谓夹者也。尺前于区而后于端，
不夹于端与区内。及外齐及之及也”(《墨子·经说上63》) 。“离，间虚也”(《墨
子·经上64》)；“虚也者，两木之间，谓其无木者。”(《墨子·经说上64》)
上述言论主要论述图形的相离。两形相离，中间形成间隙、空虚之处。如一座建
筑或一架连弩车的两根立柱之间的空隙。这个空隙之处是可以计算的。不过在计算时
只计算两形所夹的空隙，不把两形本身包含在内，故曰：“间，不及旁也”，又特地
说明“及”不是“齐及”(相等)之意。
另外这里还论及点、线、面之间的关系：“尺前于区”相当于欧几里德几何中的
定义：“面的界限是线” (如图4-8中的a面的界限是AB、BC、CD、DA四条线) ；而“
(尺) 后于端”相当于欧几里德几何中的定义：“线的界限是点”(如图4-9中的b的界
限是A、B两点)。
三、建位规则
《墨经》说：“一少于二而多于五，说在建位”(《墨子·经下59》)；“一：五，
有一焉；一，有五焉；十，二焉。”(《墨子·经说下59》)此即举例说明建位问题。
“建位”即建立个、十、百、千、万……的数字之位。同一个数字，可以处在个
位，也可处在十位、百位、千位；处在不同位，就代表不同的值。如一处在个位，则
它比二少；如果处在十位，那它为十个，比五多，故曰：“一少于二而多于五，说在
建位”。“五，有一焉”，是说五之中含一，这个一是处在个位； “一， 有五焉”，
是说一之中含五，这个一处在十位；“十，二焉”，是说处在十位中的一含有两个处
在个位的五。墨家的建位规则，用十分简炼的语言说明了复杂的数学道理。
四、倍数与分数
1.倍数
《墨经》说：“倍，为二也”(《墨子·经上60》) ；“二尺与尺但去一”(《墨
子·经说上60》) 。即所谓某数加倍就是把数乘以二，如二尺是一尺的加倍；但从二
尺中减去一尺还余一尺，这是倍数的举例兼论乘法的还原。
2.分数
墨子对小国小城人民在防御战中节约粮食问题， 大量使用分数进行精密计算：
“斗食，终岁三十六石。三食，终岁二十四石。四食，终岁十八石。五食，终岁十四
石四斗。六食，终岁十二石。斗食，食五升。三食，食三升小半。四食，食二升半。
五食，食二升。六食，食一升大半。”(《墨子·杂守》)
也就是说每天吃一斗，一年以360天计，吃36石；一日三食，即每日食2/3斗，一
年吃24石。2/3斗即6.6升多，每天三顿饭，故曰“三食，食三升小半”。日四食、五
食、六食分别为每天食2/4斗、2/5斗、2/6斗。那么上述粮食消耗的比例式(年与餐关
系)如下：
36∶24∶18∶14.4∶12＝5∶3（1/3）∶ 2（1/2）∶2∶1（2/3）